36° und es wird immer heißer...

Was fehlender Niederschlag mit Mathematik zu tun hat

Die aktuellen Temperaturen bringen nicht nur alle in überhitzten Büros und Dachgeschosswohnungen zum Schwitzen, sondern bereiten auch den Hobbygärtnern Kopfzerbrechen, wie sie ihre geliebten Pflanzen vor dem Dürretod bewahren können. Was für Letztere die Freizeitgestaltung darstellt, kann für Landwirte sehr schnell erhebliche Einbußen in der Ernte bedeuten. Das gezielte Wässern von Feldflächen zum Ausgleich fehlender Niederschläge zur Ertragssteigerung ist daher immer mehr ein Thema der modernen Landwirtschaft.
Während Beregnungskanonen bereits in einigen Regionen auf den Feldern zu sehen sind, befinden sich Kreisberegnungsanlagen mit variablen Gelenken in der Entwicklung auf dem Weg zur Serienreife.

Was hat meastream nun damit zu tun? Wasser muss aufs Feld, das klingt nicht so kompliziert. Wasser Marsch, die Beregnungsanlage fährt über das Feld und die Pflanzen gedeihen. Hier ergibt sich schon die erste Fragestellung:
Wie kann die Steuerungstechnik der Anlage realisiert werden, um möglichst effizient über das ganze Feld zu fahren - und dies, ohne umzukippen? Stichworte: Kinematik und Trajektorien!
Angenommen, die Kinematik und die Trajektorien wurden für eine ausgewählte Anlage bestimmt, dann kann in einem einfachen Ansatz die Simulation der Wasserverteilung auf einem Feld wie folgt dargestgellt werden.

Es ist sofort ersichtlich, dass in einigen Bereichen des Feldes bei konstanter Geschwindigkeit deutlich größere Wassermengen ankommen als in anderen. Intuitiv ergibt sich die Anforderung nach einer gleichmäßigeren Verteilung des Wassers.
Es stellt sich die Frage: Wie kann eine optimierte Verteilung erreicht werden? Dafür muss bestimmt werden, welcher Sprinkler zu welchem Zeitpunkt welchen Durchfluss haben muss, um möglichst nah an die gewünschte bzw. benötigte Wässerung der einzelnen Feldbereiche zu kommen.
Mathematisch betrachtet ist dies ein Optimierungsproblem. Doch was ist das eigentlich, Optimierung?

Das Ziel einer Optimierung besteht darin, unter Berücksichtigung von Nebenbedingungen die Parameter eines komplexen Systems derart zu bestimmen, dass sie eine möglichst gute (optimale) Lösung eines Maximierungs- oder Minimierungsproblems liefern.
Auf dem Weg dorthin ist zunächst eine ausführliche Beschreibung und Modellierung der Problemstellung notwendig. Ist dies erledigt, ist es meist möglich, die vorliegende Situation und zukünftige zu erwartende Resultate mathematisch zu beschreiben. Dies geschieht durch Festlegung einer Funktion

Die beschreiben hier die Stellparameter (Variablen), die in der Modellierungsphase festgelegt wurden, und beschreibt bestmöglich das zu erwartende Resultat. Über kann man mögliche Beschränkungen für die Parameter definieren (z.B. maximale Durchflussmenge eines Sprinklers).
Es wird unterschieden zwischen lokaler und globaler Optimierung. Bei der lokalen Optimierung sucht man nach Punkten des Definitionsbereichs , die in einer bestimmten Umgebung um optimal sind, d.h. für ein Minimum

In der globalen Minimierung sucht man nach Punkten , die über den gesamten Definitionsbereich minimal sind, also

Globale Optimierung ist ein weites Feld, in dem man kein dominierendes Verfahren erwarten kann, welches allgemein anwendbar ist. So genannte No Free Lunch Theorems zeigen, dass es zu jedem (globalen) Optimierungsverfahren Szenarien gibt, in welchen alternative Verfahren effizienter sind.
Anders ausgedrückt besagen diese Theoreme, dass alle Optimierungs­algorithmen gleich effizient und effektiv sind, wenn man sie über alle möglichen Einsatzgebiete (Zielfunktionen) miteinander vergleicht. Eine wichtige Aufgabe ist es also, für jede Anwendung neu zu evaluieren, welcher Optimierungsalgorithmus am besten geeignet ist.

Zurück zur Beregnungsanlage ergibt sich der folgende mathematische Ansatz: Die Funktion beinhaltet in diesem Fall eine Simulation der Verteilung der Beregnung unter bestimmten Parametern sowie eine anschließende Bewertung, wie gut diese Verteilung für unsere Erfordernisse ist. Die beschreiben Durchflussgrößen für die einzelnen Sprinkler zu bestimmten Zeitpunkten der Beregnung. Dies führt auf eine Funktion , wenn man eine exakte Modellierung erreichen will. Die folgenden Bilder zeigen die Entwicklung einer solchen Optimierung einer Beregnungsverteilung.
Hierbei wird davon ausgegangen, dass auf dem Feld nur eine Frucht angebaut wird und daher über das ganze Feld eine homogene Verteilung der Beregnungshöhe benötigt wird. Die Abbildungen zeigen, wie sich die Verteilung des Wassers mit steigender Iterationszahl der Optimierung entwickelt.

In der Realität ist aber nicht immer eine gleichmäßige Beregnung einer Feldäche das Optimum. Der Wasserbedarf orientiert sich an unterschiedlichen Umweltfaktoren wie Bodenbeschaffenheiten (sandig oder lehmig) und Wetterbedingungen. Entscheidend für den Wasserbedarf sind auch die angebauten Pflanzen. Überfährt die Anlage mehrere Zonen, in denen unterschiedliche Pflanzen angebaut werden, muss die ausgebrachte Wassermenge ebenfalls Zonen-basiert angepasst werden. Erste Feldversuche unter Verwendung der erzielten Ergebnisse waren erfolgreich, sowohl für eine gleichmäßige Beregnung des ganzen Feldes als auch für verschiedene Beregnungsintensitäten für einzelne Feldsegmente.